Matematiki se čudijo 'norim' rezom skozi štiri dimenzije | Revija Quanta

Osrednji predmeti preučevanja v topologiji so prostori, imenovani mnogoterosti, ki so videti ravni, ko jih povečate. Površina krogle je na primer dvodimenzionalni kolektor. Topologi zelo dobro razumejo takšne dvodimenzionalne mnogoterosti. Razvili so tudi orodja, ki jim omogočajo razumevanje tridimenzionalnih mnogoterosti in tistih s petimi ali več dimenzijami.

Toda v štirih dimenzijah je "vse malo noro," je rekel Sam Hughes, podoktorski raziskovalec na Univerzi v Oxfordu. Orodja prenehajo delovati; pojavi se eksotično vedenje. Kot Tom Mrowka s tehnološkega inštituta v Massachusettsu je pojasnil: "Ravno dovolj prostora je za zanimive pojave, vendar ne toliko prostora, da bi razpadli."

V zgodnjih devetdesetih sta Mrowka in Peter Kronheimer Univerze Harvard so preučevali, kako je mogoče dvodimenzionalne površine vgraditi v štiridimenzionalne mnogoterosti. Razvili so nove tehnike za karakterizacijo teh površin, kar jim je omogočilo, da pridobijo ključni vpogled v sicer nedostopno strukturo štiridimenzionalnih razdelilnikov. Njihove ugotovitve kažejo, da vsi člani širokega razreda površin prerežejo svoj matični razdelilnik na razmeroma preprost način, pri čemer osnovna lastnost ostane nespremenjena. Toda nihče ni mogel dokazati, da je to vedno res.

Februarja skupaj z Daniel Ruberman Univerze Brandeis, Hughes zgradil zaporedje protiprimerov — »nore« dvodimenzionalne površine, ki secirajo svoje matične mnogoterosti na načine, za katere so matematiki verjeli, da so nemogoči. Protiprimeri kažejo, da so štiridimenzionalni mnogoterniki še bolj neverjetno raznoliki, kot so matematiki v prejšnjih desetletjih spoznali. "To je res lep papir," je dejal Mrowka. »Kar naprej ga gledam. Tam je veliko slastnih malenkosti.”

Izdelava seznama

Konec lanskega leta, Ruberman pomagal organizirati konferenca, ki je ustvarila nov seznam najpomembnejših odprtih problemov v nizkodimenzionalni topologiji. Pri pripravi nanj si je ogledal prejšnji seznam pomembnih nerešenih topoloških problemov iz leta 1997. Vključeval je vprašanje, ki ga je postavil Kronheimer na podlagi svojega dela z Mrowko. "Bilo je tam notri in mislim, da je bilo malo pozabljeno," je dejal Ruberman. Zdaj je mislil, da lahko odgovori.

Da bi razumeli vprašanje, pomaga najprej razmisliti o dveh ključnih zamislih: preprosto povezanih kolektorjih in temeljni skupini.

Preprosto povezani razdelilniki so prostori brez lukenj. V eni dimenziji je neskončna črta preprosto povezana, krog pa ne. V dveh dimenzijah sta neskončna ravnina in površina krogle preprosto povezani, površina krofa pa ne.

Matematiki naredijo to razlikovanje strogo tako, da na razdelilnik postavijo zanke in razmislijo, kako jih je mogoče deformirati. Če je katero koli zanko mogoče skrčiti na točko, potem je razdelilnik preprosto povezan. Na ravnini ali površini krogle je to na primer mogoče – pomislite na napenjanje vrvice. Če pa gre ta vrvica po krogu, se ne more skrčiti. Podobno se na površini krofa zanke, ki gredo bodisi okoli ali skozi osrednjo luknjo, ne morejo deformirati v eno točko. Sam krof je v napoto.

Matematiki razvrščajo prostore, ki niso preprosto povezani z računanjem njihove »temeljne skupine«, predmeta, katerega struktura odraža, kako se zanke krčijo. Kolektorji, ki so preprosto povezani, imajo »trivialno« temeljno skupino s samo enim elementom. Toda razdelilniki z luknjami imajo bolj zapletene temeljne skupine.

Štiridimenzionalni razdelilniki, ki so preprosto povezani, so lahko še vedno precej čudni. Da bi jih razumeli, matematiki razmišljajo o tem, kaj se lahko zgodi z dvodimenzionalnimi površinami, vgrajenimi v njih.

Po analogiji pomislite na polaganje zanke vrvice na kos papirja. S tem ne moreš veliko narediti. Toda dvignite ga v tridimenzionalni prostor in ga lahko zavežete v zapletene vozle. Načini, na katere lahko manipulirate z nizom - enodimenzionalnim kolektorjem - pojasnjujejo naravo prostora, v katerega je vgrajen.

Podobno so v bolj zapletenem svetu štirih dimenzij dvodimenzionalne površine "neke vrste ključ do celotnega posla, na veliko različnih načinov," je dejal Ruberman. "Površine vam povedo veliko več o štiridimenzionalnem razdelilniku, kot imate pravico pričakovati." Površine vam omogočajo razlikovanje med razdelilniki: če lahko površina živi znotraj enega razdelilnika, ne pa tudi v drugem, veste, da so razdelilniki različni. In površine se lahko uporabijo za gradnjo novih razdelilnikov iz starih.

Površine imajo tudi ustrezne temeljne skupine. In prav tako njihovi komplementi - del razdelilnika, ki ostane, ko odmaknete površino. Odstranite ekvator z dvodimenzionalnih kolektorjev, kot je na primer površina krogle ali krofa, in dobite dve nepovezani polobli. A površina krofa ostane v enem kosu, če namesto vodoravnega odstranimo navpični obroč. Podobno, odvisno od tega, kako izrežete površino iz štiridimenzionalnega razdelilnika, lahko dobite različne vrste komplementov.

Že v devetdesetih sta Mrowka in Kronheimer raziskovala, kaj se zgodi, ko dvodimenzionalno površino izločiš iz štiridimenzionalnega kolektorja. Če je razdelilnik sam preprosto povezan, kakšne pogoje morajo izpolnjevati površine, da se zagotovi, da morajo biti tudi njihovi komplementi preprosto povezani?

Kronheimer in Mrowka sta vedela, da imajo lahko nekatere vrste površin dopolnila, ki niso preprosto povezana. Toda zdelo se je, da njihovo delo nakazuje, da mora drug širok razred površin vedno imeti preprosto povezana dopolnila.

Skoraj tri desetletja nihče ni mogel najti primera površine v tem razredu, katerega komplement ni bil preprosto povezan. Toda jeseni 2023, ko je naletel na težavo, je Ruberman mislil, da lahko. Namesto da bi začel s štiridimenzionalnim kolektorjem in izrezal površino, je začel z dvodimenzionalno površino, ki je imela potrebne lastnosti, in okoli nje zgradil kolektor.

Najprej je površino zmastil v štiridimenzionalno kepo. Ta štiridimenzionalni madež je imel tridimenzionalno mejo, tako kot ima tridimenzionalni predmet, kot je žoga, dvodimenzionalno mejo. Ruberman je želel na drugo stran meje pritrditi skrbno izbran štiridimenzionalni razdelilnik, ki bi služil kot dopolnilo površini. Če bi gambit deloval, bi ta mnogoterost imela zapleteno temeljno skupino, vendar bi bila temeljna skupina vsega skupaj trivialna. Novozgrajeni štiridimenzionalni razdelilnik bi torej preprosto povezali.

Da pa je lahko vse zlepil na pravi način, je moral pokazati, da temeljna skupina novega dodatka zadošča vsem vrstam lastnosti. "Nisem imel pojma, kako to narediti," je dejal Ruberman.

Nato je januarja Hughes - teoretik skupin - imel govor v Brandeisu. Ruberman je bil med občinstvom. Spoznal je, da ima Hughes morda manjkajoči kos, ki ga je iskal. Naslednji dan sta se srečala in v nekaj urah sta oblikovala glavne zamisli, ki sta jih potrebovala. Kar je Ruberman pogrešal, je "nekaj, kar teoretiki skupin na tej točki računajo že 70, 80 let," je dejal Hughes. "Pri tem smo že od nekdaj." Do konca tedna so imeli dokončan dokaz.

"Vedel sem nekaj stvari in on je vedel nekaj stvari, med nama pa sva vedela dovolj, da sva to preprosto naredila," je dejal Ruberman.

Zaradi načina, kako se teorija skupin uporablja v dokazu, je "malo nenavadno," je rekel Maggie Miller Univerze v Teksasu v Austinu. "Napisano je nekoliko drugače, kot bi bilo všeč večini štiridimenzionalnih topologov."

Rezultat je še en primer, kako zapletena lahko postane štiridimenzionalna topologija. "Obstaja več zanimivih vdelav površin, kot smo mislili," je dejal Hughes. Zaradi tega je težje razvrstiti mnogoterosti in težje dokazati druge vrste rezultatov o njih.

Kljub temu marca oz. İnanç Baykur z Univerze Massachusetts, Amherst, ki je z Rubermanom organiziral lansko konferenco o sestavljanju seznamov, napovedal rešitev k drugemu problemu, ki vključuje preprosto povezane štiridimenzionalne mnogoterosti s seznama iz leta 1997.

Zdi se, da topologi čistijo hišo.